Презентация на тему: "Предмет стереометрия. Аксиомы стереометрии ". Презентация к уроку: "Стереометрия" Презентация на тему стереометрия аксиомы стереометрии

- Что такое геометрия?

Геометрия – раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

«Геометрия» - (от греч.) – «землемерие».

• Что такое планиметрия?

Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.

- Основные понятия планиметрии?

Основные фигуры в пространстве:

точка прямая плоскость

Обозначение: А; В; С; …; М;…

Обозначение: a, b, с, d…, m, n,…(или двумя заглавными латинскими)

Обозначение: α, β, γ…

Назовите какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках:

Назовите предметы из окружающей вас обстановки (нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.

1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром).

2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1

3. Выделите цветным карандашом:

• вершины А, С, В 1 , Д 1
• отрезки АВ, СД, В 1 С, Д 1 С
• диагонали квадрата АА 1 В 1 В

- Что такое аксиома?

Аксиома – это утверждение о свойствах геометрических фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия.

Аксиомы планиметрии:

- через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

• из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.
• имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой…

Аксиомы стереометрии.

А1 . Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Аксиомы стереометрии.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Говорят: прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Сколько общих точек имеют прямая и плоскость?

Прямая лежит в плоскости

Прямая пересекает плоскость

Аксиомы стереометрии.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят : плоскости пересекаются по прямой.

Решить задачи: №1(а,б); 2(а)

Назовите по рисунку:

В 1

С 1

А 1

Д 1

а) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, ДВ, АВ, ЕС; б) точки пересечения прямой ДК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АДВ.

а) точки, лежащие в плоскостях ДСС 1 и ВQС

Подведем итоги урока:

1) Как называется раздел геометрии, который мы будем изучать в 10-11 классах?

2) Что такое стереометрия?

3) Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке.

• Повторить аксиомы планиметрии
• Выучить аксиомы А1-А3
• Прочитать пункт 1,2 (стр. 3 – 6)
• Решить задачи: 1(в,г); 2(б,д).
• Дополнительно: № 3; 4 (по желанию)

Изучение математики важно в двух отношениях:

во-первых, по сильному влиянию

этой строгой науки на развитие умственных способностей,

во-вторых, по обширности ее приложений.

М. Остроградский

Учебное занятие по геометрии

План занятия

Проверка домашнего задания

Изучение новой темы

Задание на дом

Знание – самое превосходное из владений.

Все стремятся к нему, само же оно не приходит.

Ал - Бируни

Изучение новой темы

• История геометрии
• Основные понятия геометрии
• Аксиомы стереометрии
• Следствия из аксиом

Цели и задачи

• Оперировать понятиями точка, прямая, плоскость, пространство.
• Познакомиться с аксиомами стереометрии и их следствиями.
• Применять аксиомы при решении задач.

История геометрии

1 Зарождение и определение геометрии

2 Основные этапы развития геометрии

Основные понятия в геометрии

Геометрия ― часть математики, представляющая науку о пространственных отношениях и формах тел; наука о фигурах и преобразовании фигур.

Теорема - утверждение, устанавливаемое при помощи доказательства.

Аксиома - положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности.

Основные понятия геометрии

Геометрия

Планиметрия

Стереометрия

раздел геометрии, в котором изучаются фигуры, расположенные в пространстве и свойства этих фигур.

раздел геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур на плоскости.

Основные понятия геометрии

Планиметрия

Плоскость

Точка

Прямая

Пространство

Стереометрия

Основные понятия геометрии

Плоскость ― это модель идеально ровной и гладкой поверхности, бесконечно продолженной во все стороны.

Основные понятия геометрии

Классическая модель пространства – трехмерное евклидово пространство.

Пространство – это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом стереометрии, описывающая свойства точек, прямых и плоскостей.

Основные понятия геометрии

Теоремы стереометрии

Аксиомы стереометрии

Аксиома 1 (аксиома принадлежности прямой)

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Аксиомы стереометрии

Аксиома 2 (аксиома о пересечении плоскостей)

Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Аксиомы стереометрии

Аксиома о трех точках

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость, и притом только одну.

Аксиомы стереометрии

Аксиома преемственности

В пространстве существуют плоскости. В любой плоскости выполняются все аксиомы, а значит, и все теоремы планиметрии.

Следствия из аксиом

Теорема 1

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну.

Следствия из аксиом

Теорема 2

Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну.

Следствия из аксиом

Теорема 3

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Следствия из аксиом

Замечание

Через любую прямую в пространстве можно провести бесчисленное множество плоскостей.

Слишком разбросанный ум к постижению вещей не способен.

Д. Кардано

Аксиома 1

Аксиома 2

Аксиома 3

Аксиома 4

Аксиомы стереометрии

В пространстве существуют плоскости.

В любой плоскости выполняются все аксиомы, а значит, и все теоремы планиметрии .

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость, и притом только одну.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Аксиомы стереометрии описывают:

Способ задания плоскости

Следствия из аксиом

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну

Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну

Способы задания плоскости

Плоскость можно провести через три точки

Можно провести через прямую и не лежащую на ней точку

Можно провести через две пересекающиеся прямые

Теорема 1

Теорема 3

Аксиома 3

Верно ли, что любые четыре точки не лежат в одной плоскости?

Верно ли, что через любые три точки проходит плоскость и притом одна?

Точки А, В, С, Д не лежат в одной плоскости, могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?

Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?

Могут ли две плоскости иметь только две общие точки?

Точки А, В, С, Д не лежат в одной плоскости, могут ли прямые АВ и СД пересекаться?

Могут ли две плоскости иметь только одну общую прямую?

Верно ли утверждение, что если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Верно ли утверждение, что если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

1) четыре точки, лежащие в плоскости SAB , в плоскости АВС;

2) плоскость, в которой лежит прямая MN , прямая КМ;

3) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC , плоскости SAC и CAB .

Пользуясь данным рисунком, назовите:

1) плоскости, содержащие прямую DE , прямую EF ;

2) две плоскости, которые пересекает прямая SB ; прямая AC .

B 1

C 1

A 1

D 1

Пользуясь данным рисунком, назовите:

1) прямую, по которой пересекаются плоскости BCD и AA 1 D 1 ; плоскости ADC и A 1 B 1 B ;

2) плоскость, не пересекающуюся с прямой CD 1 ; с прямой BC 1

Все искусства тяготеют к музыке; все науки - к математике.

Дж. Сантаяна

Наши знания никогда не могут иметь конца именно потому, что предмет познания бесконечен.

Б. Паскаль

1-й урок: Что изучает стереометрия? Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» - объемный, пространственный и «метрео» - измерять. Многие геометрические термины переведены с древнегреческого языка, т.к. геометрия зародилась в Древней Греции и развивалась в философских школах.

2-й урок: Основные фигуры стереометрии. Существуют различные способы изображения плоскости: плоскость изображают параллелограммом; плоскость обозначается фигурой, ограниченной двумя параллельными прямыми и двумя произвольными кривыми; плоскость передается фигурой произвольной формы.

3-й урок: Пространственные фигуры. Урок посвящается подготовке к введению аксиом стереометрии. Учащимся предлагаются следующие задачи: 1. Изобразите прямую а, лежащую на ней точку А и не лежащую на ней точку В. 2. Изобразите плоскость и две пересекающиеся прямые а и b, лежащие на ней. 3. Изобразите плоскость, лежащие на ней точки А и В, а также точки C и D, расположенные на разные стороны от плоскости. 4. Изобразите плоскость и пересекающую ее прямую а. 5. Изобразите плоскости, пересекающиеся под прямым углом.

5-й урок: Признаки параллельности плоскостей. При изучении аксиом стереометрии вспоминаем первые аксиомы планиметрии и формулируем их пространственн ые аналогии. В результате получаем следующую таблицу: Акс иом а ЧертежФормулировка П1П1 Какова бы ни была прямая в пространстве, существуют точки пространства, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. П2П2 Через любые две точки пространства можно провести прямую, и притом только одну.

6-й урок: Параллельное проектирование. Рассмотрим следствия из аксиом: ЧертежФормулировка Сл.1Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Изображение пространственных фигур на плоскости На тему отводятся семь занятий: 1. П Параллельное проектирование и его основные свойства; 2. П Параллельное проектирование плоских фигур; 3. И Изображение пространственных фигур в параллельной проекции; 4. С Сечение многогранников; 5. З Золотое сечение; 6. Ц Центральное проектирование и его свойства; 7. И Изображение пространственных фигур в центральной проекции.

Занятие 1: Параллельное проектирование и его основные свойства. Основные свойства параллельного проектирования: 1. параллельной проекцией прямой является прямая или точка; 2. параллельной проекцией отрезка является отрезок или точка; 3. отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, сохраняется (в частности, середина отрезка при параллельном проектировании переходит в середину соответствующего отрезка); 4. параллельной проекцией двух параллельных прямых являются параллельные прямые, или одна прямая, или две точки; 5. отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, при параллельном проектировании сохраняется; 6. если фигура лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования, то ее параллельной проекцией на эту плоскость будет фигура, равная исходной.

Занятие 2: Параллельные проекции плоских фигур. Рассматривается вопрос об изображении плоских фигур при параллельном проектировании. Учащиеся должны представить себе, какие фигуры являются параллельными проекциями многоугольников и окружности. Выяснить какие свойства многоугольников сохраняются при параллельном проектирования. Узнать как строятся параллельные проекци основных плоских фигур.

Золотое сечение в архитектуре Известный русский архитекторы М. Казаков и В. Баженов широко использовали в своем творчестве золотое сечение. Например, золотое сечение можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М. Казакова в Москве была построена Первой клинической Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

Многогранники. В этот курс включены следующие занятия: 1. Правильные многогранники. Правильные многогранники. 2. Полуправильные многогранники. Полуправильные многогранники. 3. Звездчатые многогранники. Звездчатые многогранники. 4. Теорема Эйлера. Теорема Эйлера.

Занятие 4: Теорема Эйлера. Одно из наиболее интересных свойств выпуклых многогранников описано теоремой Эйлера. Название многогранник а Число верш ин(В) Числ о ребе р (Р) Числ о гран ей (Г) Треугольная пирамида 464 Четырехуголь ная призма 8126 Пятиугольная бипирамида правильный додекаэдр n-угольная пирамида n+12n2n n-угольная призма 2n2n3n3nn+2 Сначала с учащимися рассматриваются известные им многогранники и заполняется таблица. Затем выводится и сама теорема: В-Р+Г=2

Углы между прямыми и плоскостями в пространстве. При изучении данной темы желательно отметить, что проблема измерения углов восходит к глубокой древности. Следует как можно шире осветить историю создания измерительных приборов и методы измерения. Для это предлагается провести следующие занятия: 1. Объем фигур в пространстве. Объем цилиндра; Объем фигур в пространстве. Объем цилиндра; 2. Принцип Кавальери;Принцип Кавальери; 3. Объем конуса; Объем конуса; 4. Объем шара. Объем шара.

Занятие 1: Объем фигур в пространстве. Объем цилиндра. На этом занятии рассматриваются проблемы измерения объемов пространственных фигур. Перечисляются основные свойства объема: oоoобъем фигуры в пространстве является неотрицательным числом; oоoобъем куба с ребром 1 равен 1; oрoравные фигуры имеют равные объемы; oеoесли фигура Ф составлена из фигур Ф 1 и Ф 2, то объем фигуры Ф равен сумме объемов фигур Ф 1 и Ф 2.

ПЛАНИМЕТРИЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ 7-9 классы классы ГЕОМЕТРИЯ на плоскости ГЕОМЕТРИЯ в пространстве «планиметрия» – наименование смешанного происхождения: от греч. metreo – измерять и лат. planum – плоская поверхность (плоскость) «стереометрия» – от греч. stereos – пространственный (stereon – объем). Школьный курс ГЕОМЕТРИИ

Изучая СТЕРЕОМЕТРИЮ в школе Мы проведем систематическое рассмотрение свойств геометрических тел в пространстве. Освоим различные способы вычисления практически важных геометрических величин. При этом мы будем развивать пространственное воображение и логическое мышление

ГЕОМЕТРИЯ возникла из практических задач людей; ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей техники и большинства изобретений человечества; ГЕОМЕТРИЯ нужна ГЕОМЕТРИЯ возникла из практических задач людей; ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей техники и большинства изобретений человечества; ГЕОМЕТРИЯ нужна технику, инженеру, рабочему, архитектору, модельеру … технику, инженеру, рабочему, архитектору, модельеру … Мы знаем, что

Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мышления это ключ к изучению стереометрии ВЫВОД: При изучении стереометрии мы будем пользоваться рисунками, чертежами: они помогут нам понять, представить, проиллюстрировать содержание того или иного факта. Поэтому прежде, чем приступить к пониманию сущности аксиомы, определения, доказательству теоремы, решению геометрической задачи, постарайтесь наглядно представить, вообразить, нарисовать фигуры, о которых идет речь. «Мой карандаш, бывает еще остроумней моей головы», признавался великий математик Леонард Эйлер ().

1.Любые три точки лежат в одной плоскости. 2.Любые четыре точки лежат в одной плоскости. 3.Любые четыре точки не лежат в одной плоскости. 4.Через любые три точки проходит плоскость и при том только одна. 5.Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. 6.Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. 7.Если прямые не пересекаются, то они параллельны. 8.Если плоскости не пересекаются, то они параллельны. В стереометрии мы будем рассматривать ситуации, задающие различные расположения в пространстве основных фигур относительно друг друга Определите: верно, ли суждение? ДА НЕТ

Аксиомы стереометрии Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает истинное, исходное положение теории. Система аксиом стереометрии дает описание свойств пространства и основных его элементов Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ Т-1 Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну. m м А В Дано: М m Так как М m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой. По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость плоскость (ABM), Обозначим её. Прямая m имеет с ней две общие точки точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости.. Таким образом, плоскость проходит через прямую m и точку M и является искомой. Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость, проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости и проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость единственна. Теорема доказана Доказательство Пусть точки A, B m.
СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ Т-2 Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. N м m n Дано: m n = M Доказательство Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М. Рассмотрим плоскость =(n, N). Так как M и N, то по А-2 m. Значит обе прямые m, n лежат в плоскости и следовательно, является искомой Докажем единственность плоскости. Допустим, что есть другая, отличная от плоскости и проходящая через прямые m и n, плоскость. Так как плоскость проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью. Единственность плоскости доказана. Теорема доказана

Цикл уроков по теме: "Аксиомы стереометрии" состоит из следующих уроков:

1. Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии"

2. Некоторые слкдствия из аксиом.

3;4. Решение задач на применение аксиом и их следствий.

5. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий. Самостоятельная работа.

Для каждого урока подготовлена презентация.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Цикл уроков по теме: «Аксиомы стереометрии и их следствия».

Урок 1. Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии.

Цели урока:

1. ознакомить учащихся с содержанием курса стереометрии;
2. изучить аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве;
3. учить применять аксиомы стереометрии при решении задач.

Ход урока:

Слайд 1.

1. Организационный момент.

2. Изучение нового материала.

Учитель: Уже три года, начиная с 7 класса, мы с вами изучаем школьный курс геометрии.

Слайд 2. Вопросы учащимся:

Что такое геометрия? (Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур)

Что такое планиметрия? (Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости)

Какие основные понятия планиметрии вы знаете? (точка, прямая)

Учитель: Сегодня мы приступаем к изучению нового раздела геометрии – стереометрии.

Слайд 3. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. (Учащиеся делают запись в тетрадь)

Слайд 4. Основные понятия пространства: точка, прямая, плоскость.

Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола, стены, пола, потолка и т.д. Плоскость, как геометрическую фигуру, нужно представлять простирающейся во все стороны, бесконечной. Обозначаются плоскости греческими буквами α, β, γ и т. д.

1. Назовите точки, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.

2. Назовите прямые: лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.

Слайд 5. Об основных понятиях (точка, прямая, плоскость) мы имеем наглядное представление и определения им не даются. Их свойства выражены в аксиомах.

Наряду с точкой, прямой, плоскостью в стереометрии рассматривают геометрические тела (куб, параллелепипед, цилиндр, тетраэдр, конус и др.), изучают их свойства, вычисляют их площади и объемы. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы.

Слайд 6. Вопросы учащимся:

Какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках.

Назовите предметы из окружающей вас обстановки (нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.

Слайд 7. Практическая работа (в тетрадях)

1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром).

2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1

3. Выделите цветным карандашом:

• вершины А, С, В 1 , Д 1 ; отрезки АВ, СД, В 1 С, Д 1 С; диагонали квадрата АА 1 В 1 В.

Обратить внимание учащихся на видимые и невидимые линии на рисунке; изображение квадрата АА 1 В 1 В в пространстве.

Слайд 8. Вопросы к учащимся:

Что такое аксиома? Какие аксиомы планиметрии вы знаете?

В пространстве основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

Слайд 9. Учащиеся делают записи и рисунки в тетрадях.

Аксиома 1. (А1) Через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Слайд 10. Отметить, что если взять не 3, а 4 произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, то есть 4 точки могут не лежать в одной плоскости.

Слайд 11. Аксиома 2. (А2) Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Слайд 12. Вопрос учащимся:

Сколько общих точек имеют прямая и плоскость? (рис.1 – бесконечно много; рис.2 – одну)

Слайд 13. Аксиома 3. (А3) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

3. Закрепление изученного материала.

Слайд 14. Решение задач из учебника № 1(а,б), 2(а).

Учащиеся читают условие задач и по рисунку на слайде дают ответ с объяснением.

Задача 1.

а) Р, Е (АДВ) РЕ (АДВ) по А 2

Аналогично МК (ВДС)

В,Д (АДВ) и (ВДС) ВД (АДВ) и (ДВС)

Аналогично АВ (АДВ) и (АВС)

С, Е (АВС) и (ДЕС) СЕ (АВС) и (ДЕС)

б) С (ДК) и (АВС) ДК ∩ (АВС) = С. Т.к. точек пересечения прямой и плоскости не более одной (прямая не лежит в плоскости), то это единственная точка.

Аналогично СЕ ∩ (АДВ) = Е.

Задача 2(а)

В плоскости ДСС 1 : Д, С, С 1 , Д 1 , К, М, R. В плоскости ВQС: В 1 , В, Р, Q, С 1 , М, С.

Слайд 15. 4. Подведение итогов урока. Вопросы учащимся:

1. Как называется раздел геометрии, который мы будем изучать в 10-11 классах?
2. Что такое стереометрия?
3. Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке.

Слайд 16. 5. Домашнее задание.

Урок 2. Некоторые следствия из аксиом.

Цели урока:

Повторить аксиомы стереометрии и применение их при решении задач домашнего задания;

Ознакомить учащихся со следствиями из аксиом;

Научить применять следствия из аксиом при решении задач, а также закрепить умение применять аксиомы стереометрии при решении задач;

Повторить формулы вычисления площади ромба.

Ход урока.

Слайд 1. 1. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.

Слайд 2.

1)Сформулируйте аксиомы стереометрии и оформите рисунки на доске.

2) №1 (в,г); 2(б,д).

Учащиеся устно с места по рисунку на слайде отвечают на вопросы домашнего задания.

Слайд 3. 3. Изучение нового материала. Рассмотрим и докажем следствия из аксиом.

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Учащиеся записывают формулировку в тетради и, отвечая на вопросы учителя, делают соответствующие записи и рисунки в тетрадь.

Что дано в теореме? (прямая и не лежащая на ней точка)

Что надо доказать? (проходит плоскость; одна)

Что можно использовать для доказательства? (аксиомы стереометрии)

Какая из аксиом позволяет построить плоскость? (А1, через три точки проходит плоскость и притом только одна)

Что есть в данной теореме и чего не хватает для использования А1 (имеем – точку; необходимы – еще две точки)

Где построим еще две точки? (на данной прямой)

Какой вывод можем сделать? (через три точки строим плоскость)

Принадлежит ли данной плоскости прямая? (да)

На основании чего можно сделать такой вывод? (на основании А2: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости)

Сколько плоскостей можно провести через данные прямую и данную точку? (одну)

Почему? (так как плоскость, проходящая через прямую и плоскость, проходит через данную точку и две точки на прямой, значит по А1 эта плоскость – единственная)

Слайд 4. Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Учащиеся доказывают теорему самостоятельно, затем прослушиваются несколько доказательств и делаются дополнения и уточнения (если они необходимы)

Обратить внимание на то, что доказательство опирается не на аксиомы, а на следствие 1.

Слайд 5. 4. Закрепление изученного материала.

Задача 6 (из учебного пособия)

Учащиеся работают в тетрадях, предлагают свои варианты решения, затем сравнивают свое решение с решением на экране. Разбираются два случая: 1) точки не лежат на одной прямой; 2) точки лежат на одной прямой.

Слайд 6,7. Задача на слайде. Учащиеся читают условие, делают рисунок и необходимые записи в тетрадях. Учитель проводит фронтальную работу с классом по вопросам задачи. В ходе решения задачи повторяем формулы вычисления площади ромба.

Дано: АВСД – ромб, АС∩ВД=О, М , (А,Д,О) ; АВ = 4см, А=60º.

Найти: (В,С) ; Д (МОВ); (МОВ)∩(АДО); S АВСД .

Решение:

Обратить внимание на тот факт, что если две плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.

5. Подведение итогов:

Сформулируйте аксиомы стереометрии.

Сформулируйте следствия из аксиом.

Цель урока достигнута. Аксиомы стереометрии повторили, познакомились со следствиями из аксиом и применили их при решении задач.

Выставление отметок (с комментариями)

Слайд 8. 6. Постановка домашнего задания :

Урок 3. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий.

Цели урока:

Повторить аксиомы стереометрии и их следствия;

Сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач;

Учащиеся знают аксиомы стереометрии и их следствия и умеют применять их при решении задач.

Ход урока.

Слайд 1. 1. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.

2. Актуализация знаний учащихся.

1) Проверка домашнего задания по вопросам учащихся.

Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.

2) Двое учащихся готовят у доски доказательство следствий из аксиом.

3) Двое учащихся (1 уровень) и двое учащихся (2 уровень) работают по карточкам индивидуального опроса. Слайд.

4) Фронтальная работа с учащимися.

Слайд 2. Дано: куб АВСДА1В1С1Д1

Найдите:

1. Несколько точек, которые лежат в плоскости α; (А, В, С, Д)
2. Несколько точек, которые не лежат в плоскости α; (А 1 , В 1 , С 1 , Д 1 )
3. Несколько прямых, которые лежат в плоскости α; (АВ, ВС, СД, АД, АС, ВД)
4. Несколько прямых, которые не лежат в плоскости α; (А 1 В 1 , В 1 С 1 , С 1 Д 1 , А 1 Д 1 , А 1 С 1 , В 1 Д 1 , АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , ДД 1 )
5. Несколько прямых которые пересекают прямую ВС; (ВВ 1 , СС 1 )
6. Несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС. (АД, АА 1 …)

Слайд 3. Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

Слайд 4. Лежат ли прямые АА 1 , АВ, АД в одной плоскости? (Прямые АА 1 , АВ, АД проходят через точку А, но не лежат в одной плоскости)

3. Решение задач.

Слайд 5. Учащиеся решают задачи № 7, 10, 14 из учебного пособия, делая соответствующие рисунки и записи на доске и в тетрадях.

Задача № 7.

2) Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?

Решение: По следствию 2:

2) Все прямые, проходящие через точку М, не обязательно лежат в одной плоскости. (см. пример со слайда 4)

Задача 10. Учащиеся решают задачу самостоятельно (аналогично задаче № 7). Учитель выборочно берет тетради на проверку и оказывает индивидуальную помощь в решении задачи учащимся, которые не справились с заданием.

Задача № 14. Решение: Все прямые а, b, с лежат в одной плоскости. В этом случае по следствию 2 можно провести плоскость, и через три прямые проходит одна плоскость.

Одна из трех прямых, например с, не лежит в плоскости α, определяемой прямыми а и b. В этом случае через заданные три прямые проходят три различные плоскости, определяемые парами прямых а и b, а и с, b и с.

Слайд 6. Учащиеся делают рисунок и необходимые построения и записи в тетрадях. При построении учащиеся проговаривают аксиомы, результат построения записывают с помощью символики.

Задача. Дано: куб АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1

т.М лежит на ребре ВВ 1 , т.N лежит на ребре СС 1 и точка К лежит на ребре ДД 1

а) Назовите плоскости, в которых лежат точки М; N.

б) найдите т.F-точку пересечения прямых МN и ВС. Каким свойством обладает точка F?

в) найдите точку пересечения прямой КN и плоскости АВС.

г) найдите линию пересечения плоскостей МNК и АВС.

Решение:

Слайд 7. Для решения следующей задачи повторим формулу вычисления площади четырехугольника. Вывод формулы разбирают по слайду.

Учащиеся записывают формулу в тетрадь.

Слайд 8. Докажите , что все вершины четырехугольника АВСД лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВД пересекаются.

Вычислите площадь четырехугольника, если АС┴ВД, АС = 10см, ВД = 12см.

Ответ: 60 см 2

4. Подведение итогов урока.

Что вызвало затруднения? Учитель объявляет отметки за урок с комментарием.

Слайд 9.

Урок 4. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий.

Цели урока:

Провести контроль знаний аксиом стереометрии и их следствий;

Закрепить сформированный навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач;

Повторить: теорему Пифагора и ее применение; формулы вычисления площадей равностороннего треугольника, прямоугольника.

Ход урока.

Слайд 1. 1. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.

Слайд 2. 2. Проверка домашнего задания.

Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.

Двое учащихся готовят у доски решения задач из домашней работы - № 9, 15.

Остальные учащиеся отвечают на вопросы математического диктанта по слайду.

Слайд 3. 3. Решение задач (фронтальная работа с классом)

Задача № 1.

Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см.

1. Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) МАВ и МFС; б) МСF и АВС.
2. Найдите длину СF и SАВС
3. Как построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?

Вопросы к учащимся (при необходимости):

Какие точки одновременно принадлежат обеим плоскостям. На основании какой аксиомы можно сделать вывод?

Сформулируйте свойство медианы равнобедренного треугольника.

Сформулируйте теорему Пифагора.

Почему можно применить теорему Пифагора в данном случае?

Какими способами можно вычислить площадь равностороннего треугольника?

Всегда ли можно построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?

Слайд 4. Задача №2.

1. Как построить точку пересечения плоскости АВС с прямой Д 1 Р?
2. Как построить линию пересечения плоскости АД 1 Р и АВВ 1 ?
3. Вычислите длину отрезков АР и АД 1 , если АВ = а

Решение:

Слайд 5. Задача №3.

Дано : Точки А, В, С не лежат на одной прямой.

Докажите , что точка Р лежит в плоскости АВС.

С помощью анимации на слайде учащиеся делают соответствующие построения и необходимые выводы. Делают записи в тетрадях с помощью математических символов, проговаривая соответствующие аксиомы и следствия из аксиом.

Вопросы учащимся (по необходимости):

Зная, что точки А, В, С не лежат на одной прямой, какой вывод можно сделать?

Если точки А и В лежат в плоскости, какой вывод о прямой АВ можно сделать?

Какой вывод можно сделать о точке М?

Если точки А и С лежат в плоскости, какой вывод о прямой АС можно сделать?

Какой вывод можно сделать о точке К?

Зная, что точки М и К лежат в плоскости, какой вывод можно сделать о прямой МК?

Какой вывод можно сделать о точке Р?

Решение (другой способ доказательства):

АВ∩АС=А. По второму следствию, прямые АВ и АС определяют плоскость α. Точка М принадлежит АВ, а значит, принадлежит плоскости α, и точка К принадлежит АС, а значит, и плоскости α. По аксиоме А2: МК лежит в плоскости α. Точка Р принадлежит МК, а значит, и плоскости α.

Слайд 6. Задача № 4.

Плоскости α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые а и с? Почему?

Вопросы учащимся (при необходимости):

Зная, что прямая а пересекает плоскость β, какой вывод можно сделать? (Прямая и плоскость имеют общую точку, например, точку В)

Каким свойством обладает точка В? (Точка В принадлежит и прямой а, и плоскости α, и плоскости β)

Если точка принадлежит двум плоскостям одновременно, то что мы можем сказать о взаимном положении плоскостей? (плоскости пересекаются по прямой, например с)

Каково взаимное расположение точки В и прямой с? (точка В принадлежит прямой с)

Зная, что точка В принадлежит и прямой а, и прямой с, какой вывод можно сделать об этих прямых? (прямые пересекаются в точке В)

Слайд 7. Задача №5.

Дан прямоугольник АВСД, О – точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости α. Докажите, что точки С и Д также лежат в плоскости α. Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 см, АОВ = 60º.

Задача предназначена для самостоятельного решения с обсуждением решения и оказанием индивидуальной помощи учащимся. Полезно обсудить различные способы нахождения площади прямоугольника:

Предложить учащимся решить задачу разными способами. Ответ: 16 см 2 .

4. Подведение итогов урока:

Какие аксиомы и теоремы мы применяли на уроке при решении задач? Сформулируйте.

Какие задачи были самыми интересными, самыми сложными?

Что полезного для вас лично было на уроке?

Что вызвало затруднения?

Выставление отметок за урок (с комментированием каждой отметки)

Слайд 8. 5. Постановка домашнего задания:

Урок 5. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий. Самостоятельная работа (20 мин.)

Цели урока:

Закрепить усвоение вопросов теории в процессе решения задач;

Проверить уровень подготовленности учащихся путем проведения самостоятельной работы контролирующего характера.

Ход урока.

Слайд 1. 1. Организационный момент.

Сообщение темы и целей урока.

Слайд 2. 2. Проверка домашнего задания.

Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.

Задача 1.

Прямые а и b пересекаются в точке О, А а, В b, Р АВ. Докажите, что прямые а и b и точка Р лежат в одной плоскости.

Решение:

Слайд 3. Задача 2.

На данном рисунке плоскость α содержит точки А, В, С, Д, но не содержит точку М. Постройте точку К – точку пересечения прямой АВ и плоскости МСД. Лежит ли точка К в плоскости α.

Решение:

Слайды 4, 5, 6 3.Устное решение задач на повторение теории (по слайдам)

Слайды 7,8 4. Самостоятельная работа (разноуровневая, контролирующего характера) Учащиеся выбирают свой уровень сложности.

5. Подведение итогов.

1) Собрать тетради с самостоятельной работой.

2) Объявление отметок с комментированием.

Слайд 9. 6. Домашнее задание.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Урок 1 Тема: "Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии."

Что такое геометрия? Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур «Геометрия» - (греч.) – «землемерие» - Что такое планиметрия? Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости. А а Основные понятия планиметрии: точка прямая - Основные понятия планиметрии?

Стереометрия - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве

Основные фигуры в пространстве: точка прямая плоскость α β Обозначение: А; В; С; …; М;… а А В М N Р Обозначение: a, b, с, d…, m, n,… (или двумя заглавными латинскими) Обозначение: α , β , γ … Ответьте на вопросы по рисунку: 1. Назовите точки, лежащие в плоскости β ; не лежащие в плоскости β . 2. Назовите прямые, лежащие в плоскости β ; не лежащие в плоскости β

Некоторые геометрические тела. А В С Д Д 1 С 1 В 1 А 1 куб А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 параллелепипед А В С Д тетраэдр цилиндр конус

Назовите какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках: Назовите предметы из окружающей вас обстановки (нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.

Практическая работа. 1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром). 2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 А В С Д Д 1 С 1 В 1 А 1 3. Выделите цветным карандашом: вершины А, С, В 1 , Д 1 отрезки АВ, СД, В 1 С, Д 1 С диагонали квадрата АА 1 В 1 В

Что такое аксиома? Аксиома – это утверждение о свойствах геометрических фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия. Аксиомы планиметрии: - через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими. имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой…

Аксиомы стереометрии. А В С А1 . Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна. α

Если ножки стола не одинаковы по длине, то стол стоит на трех ножках, т.е. опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая точка) не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.

Аксиомы стереометрии. А В α А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Говорят: прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

а М Прямая лежит в плоскости Прямая пересекает плоскость Сколько общих точек имеют прямая и плоскость?

Аксиомы стереометрии. α β А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят: плоскости пересекаются по прямой. А а

Решить задачи: №1(а,б); 2(а) А В С Д Р Е К М А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 Q P R К М Назовите по рисунку: а) плоскости, в которых лежат прямые ДВ, АВ, МК, РЕ, ЕС; б) точки пересечения прямой ДК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АДВ. а) точки, лежащие в плоскостях ДСС 1 и В Q С № 1(а,б) № 2(а)

Подведем итоги урока: 1) Как называется раздел геометрии, который мы будем изучать в 10-11 классах? 2) Что такое стереометрия? 3) Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке. А А В В α α А α β

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна. Дано: а, М ¢ а Доказать: (а, М) с α α - единственная а М α Доказательство: 1 . Р, О с а; { Р,О,М } ¢ а Р О По аксиоме А1: через точки Р, О, М проходит плоскость. По аксиоме А2: т.к. две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости, т.е. (а, М) с α 2 . Любая плоскость проходящая через прямую а и точку М проходит через точки Р, О, и М, значит по аксиоме А1 она – единственная. Ч.т.д. Некоторые следствия из аксиом:

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Дано: а ∩ b Доказать: 1. (а∩ b) с α 2. α - единственная а b М Н α Доказательство: 1.Через а и Н а, Н b проходит плоскость α . (М, Н) α , (М,Н) b , значит по А2 все точки b принадлежат плоскости. 2. Плоскость проходит через а и b и она единственная, т.к. любая плоскость, проходящая через прямые а и b , проходит и через Н, значит α – единственная.

Решить задачу № 6 А В С α Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости. Доказательство: 1. (А,В,С) α , значит по А1 через А,В,С проходит единственная плоскость. 2. Две точки каждого отрезка лежат в плоскости, значит по А2 все точки каждого из отрезков лежат в плоскости α . 3. Вывод: АВ, ВС, АС лежат в плоскости α 1 случай. А В С α 2 случай. Доказательство: Так как 3 точки принадлежат одной прямой, то по А2 все точки этой прямой лежат в плоскости.

Задача. А В С Д М О АВСД – ромб, О – точка пересечения его диагоналей, М – точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки А, Д, О лежат в плоскости α . Определить и обосновать: Лежат ли в плоскости α точки В и С? Лежит ли в плоскости МОВ точка Д? Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и АДО. Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60 º . Предложите различные способы вычисления площади ромба.

Устная работа. А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 α Дано: куб АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 Найдите: Несколько точек, которые лежат в плоскости α ; Несколько точек, которые не лежат в плоскости α ; Несколько прямых, которые лежат в плоскости α ; Несколько прямых, которые не лежат в плоскости α ; Несколько прямых которые пересекают прямую ВС; Несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС. Задача 1.

Устная работа. Задача 2. α А М В а b c Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

Устная работа. А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 α Прямые АА 1 , АВ, АД проходят через точку А, но не лежат в одной плоскости Лежат ли прямые АА 1 , АВ, АД в одной плоскости?

Решите задачи из учебного пособия: стр. 8 № 7, 10, 14. Работа учащихся на доске и в тетрадях:

Задача 1 А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 М N F К Дано: куб АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 т.М лежит на ребре ВВ 1 , т. N лежит на ребре СС 1 и точка К лежит на ребре ДД 1 а) назовите плоскости, в которых лежат точки М; N . б) найдите т. F- точку пересечения прямых М N и ВС. Каким свойством обладает точка F ? в) найдите точку пересечения прямой К N и плоскости АВС О г) найдите линию пересечения плоскостей М N К и АВС

Задача (устно) А В С Д М О АВСД – ромб, О – точка пересечения его диагоналей, М – точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки А, Д, О лежат в плоскости α . Определить и обосновать: 1. Какие еще точки лежат в плоскости α ? Лежат ли в плоскости α точки В и М? Лежит ли в плоскости МОД точка В? Назовите линию пересечения плоскостей МОС и АДО. Точка О – общая точка плоскостей МОВ и МОС. Верно ли что эти плоскости пересекаются по прямой МО? Назовите три прямые, лежащие в одной плоскости; не лежащие в одной плоскости.

Задача (устно) А В С М Стороны АВ и АС треугольника АВС лежат в плоскости. Докажите, что и медиана лежит в плоскости.

С Д В Е F О М Задача (устно) В чем ошибка чертежа, где О Е F . Дайте объяснение. Как должен выглядеть правильный чертеж.

1 уровень А В С S К М N 1. Пользуясь данным рисунком, назовите: а) четыре точки, лежащие в плоскости S АВ; б)плоскость, в которой лежит прямая М N ; в) прямую по которой пересекаются плоскости S АС и S ВС. 2. Точка С – общая точка плоскости и. Прямая с проходит через точку С. Верно ли, что плоскости и пересекаются по прямой с. Ответ объясните. 3. Через прямую а и точку А можно провести две различные плоскости. Каково взаимное расположение прямой а и точки А. Ответ объясните. 2 уровень S А В С Д Е F 1. Пользуясь данным рисунком назовите: а) две плоскости, содержащие прямую ДЕ; б) прямую, по которой пересекаются плоскости АЕ F и S ВС; в) плоскости, которые пересекает прямая S В. 2. Прямые а, b и с имеют общую точку. Верно ли, что данные прямые лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте. 3. Плоскости и пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости и пересекает плоскость. Каково взаимное расположение прямых а и с?

А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 Уровень 3 (на карточках) 1. Пользуясь данным рисунком, назовите: а) две плоскости, содержащие прямую В 1 С; б) прямую, по которой пересекаются плоскости В 1 СД и АА 1 Д 1 ; в) плоскость, не пересекающуюся с прямой СД 1 . 2. Четыре прямые попарно пересекаются. Верно ли, что если любые три из них лежат в одной плоскости, то все четыре прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните. 3. Вершина С плоского четырехугольника АВСД лежит в плоскости, а а точки А, В, Д не лежат в этой плоскости. Прямые АВ и АД пересекают плоскость в точках В 1 иД 1 соответственно. Каково взаимное расположение точек С, В 1 и Д 1 ? Ответ объясните.

Домашнее задание: повторить материал из планиметрии и сделать в тетрадях конспект по следующим вопросам: Определение параллельных прямых Взаимное расположение двух прямых на плоскости Построение прямой, параллельной данной Аксиому о параллельных прямых